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2016 年考研数学（二）第 19 题

解答题 · 10 分

已知

y_{1} (x) = e^{x}

，

y_{2} (x) = u (x) e^{x}

是二阶微分方程

(2 x - 1) y^{''} - (2 x + 1) y^{'} + 2 y = 0

的两个解。若

u (- 1) = e

，

u (0) = - 1

，求

u (x)

，并写出该微分方程的通解。

提示 1

把

y_{2} = u (x) e^{x}

及其一、二阶导代入方程，约去

e^{x}

，会发现

u

的项系数为

0

，只剩

u^{''}

与

u^{'}

。

提示 2

得到

(2 x - 1) u^{''} + (2 x - 3) u^{'} = 0

，令

p = u^{'}

降为一阶线性（可分离）方程，解出

u^{'} (x) = C_{1} (2 x - 1) e^{- x}

。

提示 3

积分得

u (x) = - C_{1} (2 x + 1) e^{- x} + C_{2}

，用两个条件定

C_{1}, C_{2}

；再由

y_{1} = e^{x}

与

y_{2} = - (2 x + 1)

写通解。

答案与详解

答案 $u (x) = - (2 x + 1) e^{- x}$ ；通解为 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} (2 x + 1)$ （ $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数）

思路（为什么这么做）

已知一个解

y_{1} = e^{x}

求另一个解，标准手法是设

y_{2} = u \cdot y_{1}

代入降阶——代入后

u

本身的项必然消失（这是刘维尔降阶法的普遍现象），方程只含

u^{''}

和

u^{'}

，令

p = u^{'}

就降成一阶。解出

u^{'}

再积分，两个初值条件恰好定出两个常数。最后一步要理解通解结构：

y_{2} = u e^{x} = - (2 x + 1)

与

y_{1} = e^{x}

是两个线性无关解，二阶齐次方程的通解就是它们的线性组合

C_{1} e^{x} + C_{2} (2 x + 1)

（负号可并入常数）。

解答

本题考查已知一个解、用代入降阶求另一解，以及二阶线性齐次方程通解的结构。 把

y_{2} = u (x) e^{x}

代入方程，得到关于

u

的方程并降阶求解。

由

y_{2} = u e^{x}

得

y_{2}^{'} = (u^{'} + u) e^{x}

，

y_{2}^{''} = (u^{''} + 2 u^{'} + u) e^{x}

。代入原方程并约去

e^{x}

：

(2 x - 1) (u^{''} + 2 u^{'} + u) - (2 x + 1) (u^{'} + u) + 2 u = 0.

整理（

u

的系数为

(2 x - 1) - (2 x + 1) + 2 = 0

）得

(2 x - 1) u^{''} + (2 x - 3) u^{'} = 0, 即 u^{''} + (1 - \frac{2}{2 x - 1}) u^{'} = 0.

这是关于

u^{'}

的一阶方程，解得

u^{'} (x) = C_{1} e^{- \int (1 - \frac{2}{2 x - 1}) d x} = C_{1} (2 x - 1) e^{- x} .

再积分（分部）：

u (x) = \int C_{1} (2 x - 1) e^{- x} d x + C_{2} = - C_{1} (2 x + 1) e^{- x} + C_{2} .

由

u (- 1) = e

、

u (0) = - 1

：

{C_{1} e + C_{2} = e, - C_{1} + C_{2} = - 1, \Rightarrow C_{1} = 1, C_{2} = 0.

故

u (x) = - (2 x + 1) e^{- x}

。

于是第二个解

y_{2} = u (x) e^{x} = - (2 x + 1)

，与

y_{1} = e^{x}

线性无关。由二阶线性齐次方程通解结构，通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} (2 x + 1) (C_{1}, C_{2} 为任意常数) .

考点：高阶线性微分方程解的结构、可降阶的高阶微分方程

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