2016 年考研数学（二） 第 8 题

含参二次型判惯性指数，最稳的是求特征值。这个矩阵是「对角 $a$、非对角全 $1$」的特殊结构，各行和相等 $=a+2$，所以 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是特征向量、$a+2$ 是特征值；剩下的二重特征值可由迹 $=3a=(a+2)+2\lambda$ 得 $\lambda =a-1$。要正惯性指数 $1$、负惯性指数 $2$，就是一个正、两个负，故二重根 $a-1$ 取负、单根 $a+2$ 取正，交出 $-2<a<1$。选项 D 的 $a=1,a=-2$ 是边界（会出现零特征值、惯性指数不满足），恰是干扰项。

本题考查二次型的惯性指数与实对称矩阵的特征值。 正、负惯性指数就是矩阵正、负特征值的个数，故求出特征值再讨论符号。

二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$。其特征多项式
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& -1& -1\\ -1& \lambda -a& -1\\ -1& -1& \lambda -a\end{array}\right|=(\lambda -a-2)(\lambda -a+1{)}^2,$$
（利用三行之和相等，提取公因子 $\lambda -a-2$）得特征值 ${\lambda }_1=a+2$，${\lambda }_2={\lambda }_3=a-1$。

由题意正惯性指数为 $1$、负惯性指数为 $2$，即恰有一个正特征值、两个负特征值。二重特征值 $a-1$ 决定两个符号相同的值，单特征值 $a+2$ 决定另一个符号，故
$$\{\begin{array}{l}a+2>0,\\ a-1<0,\end{array}\Rightarrow -2<a<1.$$
故应选 C。

验证：取 $a=0$，$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，特征值为 $2,-1,-1$，正、负惯性指数恰为 $1,2$，符合，$a=0\in (-2,1)$。