2016 年考研数学（二） 第 7 题

判断「由 $A\sim B$ 能否推出某组合也相似」，诀窍是看能否用同一个 $P$ 把等式 $P^{-1}AP=B$ 变形出来。取逆、相加这类运算保持 $P$ 不变，所以 $A^{-1}\sim B^{-1}$、$A+A^{-1}\sim B+B^{-1}$ 都成立。而转置会把变换矩阵换成 $(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，与 $P$ 不是同一个，于是 $A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}}$ 虽然对（换了矩阵），但 $A+A^{\mathrm{T}}$ 里 $A$ 用 $P$、$A^{\mathrm{T}}$ 用 $(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，两个变换矩阵打架，无法合成一个统一的相似变换——这正是 C 错误的根源。

本题考查相似矩阵的性质。 $A\sim B$ 意味着存在可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$。逐一检验四个选项能否找到统一的相似变换矩阵。

（A）正确： 对 $P^{-1}AP=B$ 两边转置得 $P^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}(P^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}$，即 $[(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}{]}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=B^{\mathrm{T}}$，取 $Q=(P^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ 有 $Q^{-1}{A}^{\mathrm{T}}Q=B^{\mathrm{T}}$，故 $A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}}$。

（B）正确： 由 $P^{-1}AP=B$ 取逆得 $P^{-1}{A}^{-1}P=B^{-1}$，故 $A^{-1}\sim B^{-1}$。

（D）正确： 由 $P^{-1}AP=B$ 与 $P^{-1}{A}^{-1}P=B^{-1}$ 相加得 $P^{-1}(A+A^{-1})P=B+B^{-1}$，故 $A+A^{-1}\sim B+B^{-1}$。

（C）错误： 由 $P^{-1}AP=B$ 无法推出 $A^{\mathrm{T}}$ 用同一个 $P$ 相似于 $B^{\mathrm{T}}$，即得不到 $P^{-1}(A+A^{\mathrm{T}})P=B+B^{\mathrm{T}}$（因为 $P^{-1}{A}^{\mathrm{T}}P$ 一般不等于 $B^{\mathrm{T}}$）。$A+A^{\mathrm{T}}$ 与 $B+B^{\mathrm{T}}$ 未必相似。故结论错误的是 C。