2016 年考研数学（二） 第 6 题

这是一道直接计算题，把两个偏导算准再相加即可，无需技巧。两个易错点：一是对 $x$ 求导时别忘了分子 $e^x$ 也要参与商的求导；二是对 $y$ 求导时 $\frac{\partial }{\partial y}(x-y{)}^{-1}$ 有两个负号相乘变正。相加后分子 $e^x(x-y-1)+e^x=e^x(x-y)$ 与分母约分，正好还原成 $f$ 本身，于是选 $f_x^{\prime }+f_y^{\prime }=f$。看到选项里既有 $\pm$ 又有是否等于 $f$，说明命题人就是要考查这个约分后的恒等关系。

本题考查多元函数偏导数的计算。 直接对 $f=\frac{e^x}{x-y}$ 分别求 $x$、$y$ 的偏导，再组合验证。

对 $x$ 求偏导（商的求导，分子 $e^x$ 与分母 $x-y$ 都含 $x$）：
$$f_x^{\prime }=\frac{e^x(x-y)-e^x\cdot 1}{(x-y{)}^2}=\frac{e^x(x-y-1)}{(x-y{)}^2}.$$

对 $y$ 求偏导（视 $e^x$ 为常数，$\frac{\partial }{\partial y}(x-y{)}^{-1}=-(x-y{)}^{-2}\cdot (-1)$）：
$$f_y^{\prime }=e^x\cdot \frac{1}{(x-y{)}^2}=\frac{e^x}{(x-y{)}^2}.$$

两式相加：
$$f_x^{\prime }+f_y^{\prime }=\frac{e^x(x-y-1)+e^x}{(x-y{)}^2}=\frac{e^x(x-y)}{(x-y{)}^2}=\frac{e^x}{x-y}=f.$$
故 $f_x^{\prime }+f_y^{\prime }=f$，应选 D。