2016 年考研数学（二） 第 5 题

两曲线相切又要比高低，一阶信息全被「公切线」抹平，胜负只由二阶导数决定——这正是二阶泰勒展开的用武之地：$f_i(x)-g(x)\approx \frac{1}{2}{f}_i^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$，$f_i^{\prime \prime }$ 越小（越负）曲线在切点附近越往下弯、越低。曲率这一条件的作用是把「曲率大」翻译成「$|f^{\prime \prime }|$ 大」（因 $f_i^{\prime \prime }<0$ 即 $-f_i^{\prime \prime }$ 大），由于两者一阶导相等、曲率分母相同，于是 $f_1^{\prime \prime }<f_2^{\prime \prime }<0=g^{\prime \prime }$。三者按二阶导数从小到大排，图像就从下到上排为 $f_1\le f_2\le g$。

本题考查曲率公式与用泰勒展开比较曲线与切线的高低。 公切线意味着两曲线在 $x_0$ 处函数值与一阶导数都相同，比较高低要看二阶导数。

有公切线 $\Rightarrow f_1(x_0)=f_2(x_0)=g(x_0)=y_0$，$f_1^{\prime }(x_0)=f_2^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$。又 $g$ 是直线，$g^{\prime \prime }\equiv 0$。曲率 $K_i=\frac{|f_i^{\prime \prime }(x_0)|}{[1+f_i^{\prime }(x_0{)}^2{]}^{3/2}}=\frac{-f_i^{\prime \prime }(x_0)}{[1+f_i^{\prime }(x_0{)}^2{]}^{3/2}}$（因 $f_i^{\prime \prime }(x_0)<0$）。

由 $f_1^{\prime }(x_0)=f_2^{\prime }(x_0)$，两曲率的分母相同，故「$f_1$ 的曲率 $>$ $f_2$ 的曲率」等价于 $-f_1^{\prime \prime }(x_0)>-f_2^{\prime \prime }(x_0)$，即
$$f_1^{\prime \prime }(x_0)<f_2^{\prime \prime }(x_0)<0=g^{\prime \prime }(x_0).$$

对每条曲线与切线之差作泰勒展开：$f_i(x)-g(x)=\frac{1}{2}{f}_i^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+o((x-x_0{)}^2)$（一阶项因公切线抵消）。同理 $f_1(x)-f_2(x)=\frac{1}{2}(f_1^{\prime \prime }(x_0)-f_2^{\prime \prime }(x_0))(x-x_0{)}^2+o(\cdots )$。

由 $f_1^{\prime \prime }(x_0)<f_2^{\prime \prime }(x_0)<0$，在 $x_0$ 的某去心邻域内 $(x-x_0{)}^2>0$，得 $f_1(x)-f_2(x)<0$ 且 $f_2(x)-g(x)<0$，即
$$f_1(x)\le f_2(x)\le g(x).$$
故应选 A。