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2016 年考研数学（二） 第 4 题
选择题 · 4 分
设函数 在 内连续，其导函数 的图形如图所示．该图形的特征为：记 ， 在 上为正且单调减，在 处穿过 轴变负；在 处有一向下的尖点（ 在此不可导），此后 上升，在 处由负变正；在 处 取得极大（切线水平），随后下降，在 处与 轴相切（ 但不变号），之后再上升。则（ ）
- A函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点
- B函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点
- C函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点
- D函数 有 个极值点，曲线 有 个拐点
提示 1
极值点：找 变号的点（穿过 轴且改变正负），仅相切不变号的零点不算。提示 2
拐点：找 变号的点。 的正负就是 图形的升降， 出现在 的水平切线处， 不存在出现在 的尖点处。提示 3
把 轴分成 四段，逐段判断 是升还是降，看相邻两段升降是否改变。答案与详解
答案 B
思路（为什么这么做）
「给 的图判 的极值/拐点」是经典的读图题，核心是把语言翻译对：极值点 变号，拐点 变号 图形的升降改变。两个易漏的陷阱都在本题：其一， 处 只是相切于 轴（不变号），它不是极值点却是拐点（因为 的升降在此改变）；其二， 处 是尖点、 不存在，但左右升降改变，仍是拐点。把水平切线点和不可导点都列为 的候选变号点，再逐段核对升降，就不会数错。
解答
本题考查由导函数图形判断极值点与拐点。 极值点看 变号处；拐点看 变号处，而 的符号即 图形的升降， 或不存在的候选点是 的水平切线点与不可导点。
极值点（ 变号）： 的零点为 。在 处 由正变负， 为极大值点；在 处 由负变正， 为极小值点；在 处 相切于 轴不变号， 不是极值点； 处 恒负不变号，也不是极值点。故 有 个极值点。
拐点（ 变号）： 即 图形的斜率。 在 处不存在（尖点），且 在 处有水平切线故 。逐段判断斜率符号： 时 下降（）， 时 上升（）， 时 下降（）， 时 上升（）。
于是 在 、、 三处各变号一次，对应 、、 均为拐点，共 个拐点。综上 有 个极值点、 个拐点，应选 B。
极值点（ 变号）： 的零点为 。在 处 由正变负， 为极大值点；在 处 由负变正， 为极小值点；在 处 相切于 轴不变号， 不是极值点； 处 恒负不变号，也不是极值点。故 有 个极值点。
拐点（ 变号）： 即 图形的斜率。 在 处不存在（尖点），且 在 处有水平切线故 。逐段判断斜率符号： 时 下降（）， 时 上升（）， 时 下降（）， 时 上升（）。
于是 在 、、 三处各变号一次，对应 、、 均为拐点，共 个拐点。综上 有 个极值点、 个拐点，应选 B。