2016 年考研数学（二） 第 3 题

两个反常积分被积函数相同、只是积分区间在原点的两侧，关键就在 $x\to 0$ 时 $1/x$ 的符号：从左边 $1/x\to -\infty$ 使 $e^{1/x}\to 0$（收敛端），从右边 $1/x\to +\infty$ 使 $e^{1/x}\to +\infty$（发散端）。看到 $\frac{1}{x^2}{e}^{1/x}$ 要立刻反应出它是 $-e^{1/x}$ 的导数（换元 $u=1/x$ 的直接体现），从而无需比较判别法，直接用牛顿-莱布尼茨算端点极限即可判定。

本题考查反常积分的敛散性判定。 注意 $\frac{1}{x^2}{e}^{1/x}$ 有原函数 $-e^{1/x}$（因 $(-e^{1/x}{)}^{\prime }=-e^{1/x}\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}{e}^{1/x}$），直接用牛顿-莱布尼茨判断。

对 ①（无穷区间 $(-\infty ,0)$，且 $x\to 0^{-}$ 时 $1/x\to -\infty$，$e^{1/x}\to 0$ 无瑕点）：
$${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{x^2}{e}^{1/x}dx=-e^{1/x}{|}_{-\infty }^{0^{-}}=-(\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{1/x}-\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{1/x})=-(0-1)=1.$$
故 ① 收敛。

对 ②（区间 $(0,+\infty )$，$x\to 0^{+}$ 时 $1/x\to +\infty$，是瑕点）：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2}{e}^{1/x}dx=-e^{1/x}{|}_{0^{+}}^{+\infty }=-(\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{1/x}-\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{1/x})=-(1-(+\infty ))=+\infty .$$
故 ② 发散。

综上，① 收敛、② 发散，应选 B。