2016 年考研数学（二） 第 2 题

分段函数求原函数的核心陷阱：两段各自积分会各带一个常数，但原函数在实数轴上处处可导，因而必然连续，两个常数被「接缝处连续」这一条件锁死。先对每段积分，再用 $x=1$ 处左右值相等确定 $x\ge 1$ 段的常数。$\int \ln xdx=x\ln x-x$ 是需要记牢的基本积分（分部积分得到）。四个选项的区别正在 $x\ge 1$ 段末尾的常数项，只有 $+1$ 能保证在 $x=1$ 处与左段的 $0$ 衔接。

本题考查原函数（不定积分）与原函数在分段点处的连续性。 原函数在 $\mathbb{R}$ 上必连续可导，故两段的积分常数不能独立选取，要保证在 $x=1$ 处连续。

分段积分：当 $x<1$ 时 $\int 2(x-1)dx=(x-1{)}^2+C$；当 $x\ge 1$ 时 $\int \ln xdx=x\ln x-x+C^{\prime }=x(\ln x-1)+C^{\prime }$。四个选项在 $x<1$ 段都取 $(x-1{)}^2$（即 $C=0$），故只需定 $x\ge 1$ 段的常数 $C^{\prime }$。

原函数必须在 $x=1$ 处连续。左极限 $F(1^{-})=(1-1{)}^2=0$；右值 $F(1)=1\cdot (\ln 1-1)+C^{\prime }=-1+C^{\prime }$。令 $-1+C^{\prime }=0$ 得 $C^{\prime }=1$，即 $x\ge 1$ 段为 $x(\ln x-1)+1$。

故 $F(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2,& x<1,\\ x(\ln x-1)+1,& x\ge 1,\end{array}$ 应选 D。