2016 年考研数学（二） 第 1 题

比较无穷小的阶，标准做法是把每个都用等价无穷小压成 $x$ 的一个幂 $x^p$，指数 $p$ 越小阶越低。三个式子分别套 $\cos u-1\sim -\frac{u^2}{2}$（注意 $u=\sqrt{x}$ 使阶变为 $x^1$，再乘外面的 $x$ 得 $x^2$）、$\ln (1+u)\sim u$（得 $x^{1/2}\cdot x^{1/3}=x^{5/6}$）、$(1+u{)}^{\alpha }-1\sim \alpha u$（得 $x^1$）。得到指数 $\frac{5}{6},1,2$ 后从小到大排即从低阶到高阶。易错点是把「低阶」与「高阶」记反——低阶是趋于 $0$ 慢的那个，对应最小的指数。

本题考查无穷小量的阶的比较。 用等价无穷小把每个 ${\alpha }_i$ 化为 $x$ 的幂，指数越小阶越低（趋于 $0$ 越慢）。

由 $\cos \sqrt{x}-1\sim -\frac{1}{2}(\sqrt{x}{)}^2=-\frac{x}{2}$，得
$${\alpha }_1=x(\cos \sqrt{x}-1)\sim x\cdot (-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}{x}^2(2\text{阶}).$$

由 $\ln (1+\sqrt[3]{x})\sim \sqrt[3]{x}=x^{1/3}$，得
$${\alpha }_2=\sqrt{x}\ln (1+\sqrt[3]{x})\sim x^{1/2}\cdot x^{1/3}=x^{5/6}(\frac{5}{6}\text{阶}).$$

由 $\sqrt[3]{x+1}-1=(1+x{)}^{1/3}-1\sim \frac{1}{3}x$，得 ${\alpha }_3\sim \frac{1}{3}x$（$1$ 阶）。

三者的阶分别为 $\frac{5}{6},1,2$，从低到高即 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1$．故应选 B。