2016 年考研数学（二） 第 22 题

本题分两层：先用「无解」反解参数，再解一个正规方程组 $A^{\mathrm{T}}Ax=A^{\mathrm{T}}\beta$。第一层的钥匙是把增广矩阵消成阶梯，无解意味着系数矩阵秩比增广矩阵秩小 $1$，即出现「$0=$非零」的行，于是逼出参数方程 $-a^2+2a=0$；两个候选里 $a=2$ 让末行整体为零反而有解，必须排除。第二层是标准的求通解：$A^{\mathrm{T}}Ax=A^{\mathrm{T}}\beta$（最小二乘正规方程）一定有解，消元后读出自由变量，写成「特解 + 齐次通解」。注意 $A^{\mathrm{T}}A$ 秩等于 $A$ 的秩为 $2$，所以基础解系只有一个向量。

本题考查非齐次线性方程组解的判定（无解条件）与通解求法。 先由「$Ax=\beta$ 无解」即 $r(A)\ne r(A,\beta )$ 定 $a$，再对增广矩阵消元求 $A^{\mathrm{T}}Ax=A^{\mathrm{T}}\beta$ 的通解。

（Ⅰ） 对增广矩阵作初等行变换：
$$(A\mid \beta )=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1-a& 0\\ 1& 0& a& 1\\ a+1& 1& a+1& 2a-2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1-a& 0\\ 0& -1& 2a-1& 1\\ 0& 0& -a^2+2a& a-2\end{array}\right).$$
$Ax=\beta$ 无解要求 $r(A)\ne r(A,\beta )$，故需 $-a^2+2a=0$，即 $a=0$ 或 $a=2$。当 $a=2$ 时末行为 $(0,0,0\mid 0)$，$r(A)=r(A,\beta )=2$ 方程组有解，矛盾；故 $a=0$。

（Ⅱ） 取 $a=0$，则 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，$\beta =\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right)$，计算
$$A^{\mathrm{T}}A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right),A^{\mathrm{T}}\beta =\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right).$$

对增广矩阵消元：
$$(A^{\mathrm{T}}A\mid A^{\mathrm{T}}\beta )=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 2& -1\\ 2& 2& 2& -2\\ 2& 2& 2& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
$r=2<3$，有一个自由未知量。对应齐次解 $\xi =(0,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，特解 $x_0=(1,-2,0{)}^{\mathrm{T}}$。

故 $A^{\mathrm{T}}Ax=A^{\mathrm{T}}\beta$ 的通解为
$$x=k\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$