2016 年考研数学（二） 第 23 题

求矩阵高次幂的通法是对角化：三个互异特征值保证可对角化，$A^{99}=P{\Lambda }^{99}{P}^{-1}$，而 ${\Lambda }^{99}$ 只是把对角元各自 $99$ 次方（含零特征值的那一维直接归零，正好体现 $A$ 不可逆）。第（Ⅱ）问的巧思在 $B^2=BA$：它让 $B$ 的幂「向右吐出一个 $A$」——$B^n=B{A}^{n-1}$，于是 $B^{100}=B{A}^{99}$ 把未知的 $B$ 的高次幂转化成已算出的 $A^{99}$。最后用列向量语言 $({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)A^{99}$，矩阵乘法的定义直接给出每个 ${\beta }_j$ 的组合系数就是 $A^{99}$ 的第 $j$ 列。

本题考查特征值、对角化求矩阵高次幂，以及利用 $B^2=BA$ 递推求 $B^{100}$。 先把 $A$ 对角化，用 $A^{99}=P{\Lambda }^{99}{P}^{-1}$ 求幂。

（Ⅰ） 特征多项式 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& -1\\ -2& \lambda +3& 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|=\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)$，特征值 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2,{\lambda }_3=0$。对应特征向量为
$${\xi }_1=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_2=(1,2,0{)}^{\mathrm{T}},{\xi }_3=(3,2,2{)}^{\mathrm{T}}.$$

取 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 2\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$，则 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(-1,-2,0)$，$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -2\\ -1& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$。于是
$$A^{99}=P\left(\begin{array}{ccc}(-1{)}^{99}& 0& 0\\ 0& (-2{)}^{99}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)P^{-1}=P\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2^{99}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)P^{-1}.$$

计算得
$$A^{99}=\left(\begin{array}{ccc}{2}^{99}-2& 1-2^{99}& 2-2^{98}\\ 2^{100}-2& 1-2^{100}& 2-2^{99}\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

（Ⅱ） 由 $B^2=BA$ 递推：$B^3=B\cdot B^2=B\cdot BA=B^{2}A=B{A}^2$，归纳得 $B^n=B{A}^{n-1}$，故 $B^{100}=B{A}^{99}$。即
$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=B^{100}=B{A}^{99}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)A^{99}.$$

按 $A^{99}$ 的各列写出（第 $j$ 列的元素即 ${\beta }_j$ 关于 ${\alpha }_i$ 的系数）：
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_1=(2^{99}-2){\alpha }_1+(2^{100}-2){\alpha }_2+0\cdot {\alpha }_3,\\ {\beta }_2=(1-2^{99}){\alpha }_1+(1-2^{100}){\alpha }_2+0\cdot {\alpha }_3,\\ {\beta }_3=(2-2^{98}){\alpha }_1+(2-2^{99}){\alpha }_2+0\cdot {\alpha }_3.\end{array}$$