2016 年考研数学（二） 第 21 题

这道题把「变限积分 + 平均值 + 零点存在唯一」串在一起。第（Ⅰ）问算 ${\int }_0^{3\pi /2}f$ 时不要去硬求 $f$ 的显式，而是把二重积分交换次序，让 $\frac{3\pi }{2}-t$ 与分母 $2t-3\pi$ 神奇约分，积分瞬间坍缩为 $-\frac{\cos t}{2}$——这是「变限积分定积分」的常用技巧。第（Ⅱ）问的钥匙是 $f^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{2x-3\pi }$ 的符号：分母在整个区间恒负，于是 $f^{\prime }$ 的正负完全由 $\cos x$ 反号决定，$(0,\frac{\pi }{2})$ 上递减、$(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ 上递增。递减段把 $f$ 压到负值（无零点），递增段配合平均值为正（保证有正值点），单调 + 介值即得唯一零点。

本题考查变限积分（原函数）、平均值以及用介值定理与单调性证明零点的存在唯一性。 由条件 $f^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{2x-3\pi }$ 且 $f(0)=0$，故 $f(x)={\int }_0^x\frac{\cos t}{2t-3\pi }dt$。

（Ⅰ） 平均值 $\bar{f}=\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{3\pi /2}f(x)dx$。交换积分次序（$0\le t\le x\le \frac{3\pi }{2}$）：
$${\int }_0^{3\pi /2}f(x)dx={\int }_0^{3\pi /2}dx{\int }_0^x\frac{\cos t}{2t-3\pi }dt={\int }_0^{3\pi /2}\frac{\cos t}{2t-3\pi }(\frac{3\pi }{2}-t)dt.$$
因 $\frac{3\pi }{2}-t=-\frac{2t-3\pi }{2}$，被积式化为 $-\frac{\cos t}{2}$，故
$$\bar{f}=\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{3\pi /2}(-\frac{\cos t}{2})dt=-\frac{1}{3\pi }\sin t{|}_0^{3\pi /2}=-\frac{1}{3\pi }(-1)=\frac{1}{3\pi }.$$

（Ⅱ）先证存在。 $f^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{2x-3\pi }$。当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时 $\cos x>0$、$2x-3\pi <0$，故 $f^{\prime }(x)<0$，$f$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调减；又 $f(0)=0$，故 $f(x)<0\left(0<x\le \frac{\pi }{2}\right)$，特别 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$。由积分中值定理，存在 $c\in \left[0,\frac{3\pi }{2}\right]$ 使 $f(c)=\bar{f}=\frac{1}{3\pi }>0$，显然 $c\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$。

由零点定理，在 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$ 与 $f(c)>0$ 之间存在 $\xi \in \left(\frac{\pi }{2},c\right)\subset \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 使 $f(\xi )=0$。

再证唯一。 当 $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$ 时 $\cos x<0$、$2x-3\pi <0$，故 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 内单调增，至多一个零点；而 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $f<0$ 无零点。综上 $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{3\pi }{2}\right)$ 内存在唯一零点。