2015 年考研数学（二） 第 7 题

非齐次方程组「无穷多解」有两个必须同时满足的关口：$r(A)<n$（系数矩阵降秩）和 $r(A)=r(\overline{A})$（相容）。第一关只涉及 $a$：$|A|=(a-1)(a-2)=0$ 逼出 $a\in \Omega$；第二关涉及 $b$：消元后底行出现 $(d-1)(d-2)$，为保相容需 $d\in \Omega$。两个条件恰好都落进 $\Omega =\{1,2\}$，这正是本题「对称美」的设计——故选 D。

本题考查非齐次线性方程组解的判定。 $Ax=b$ 有无穷多解 $\iff r(A)=r(\overline{A})<3$（未知量个数为 $3$）。

先看系数矩阵：$A$ 是范德蒙德型，$|A|=(a-1)(a-2)$。要 $r(A)<3$ 必须 $|A|=0$，即 $a=1$ 或 $a=2$，也就是 $a\in \Omega$。

当 $a=1$ 时，对增广矩阵作初等行变换：
$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& d\\ 1& 4& 1& d^2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& d-1\\ 0& 0& 0& d^2-3d+2\end{array}\right).$$
要 $r(A)=r(\overline{A})$，需 $d^2-3d+2=(d-1)(d-2)=0$，即 $d=1$ 或 $d=2$。

当 $a=2$ 时，同理化简后末行常数项仍为 $d^2-3d+2$，也要求 $d=1$ 或 $d=2$。

综合：无穷多解 $\iff a\in \{1,2\}=\Omega$ 且 $d\in \{1,2\}=\Omega$。故应选 D。