2015 年考研数学（二） 第 8 题

正交变换的标准形系数 = 特征值，而「第 $i$ 个平方项的系数」由「变换矩阵第 $i$ 列是哪个特征向量」决定。所以换 $P\to Q$ 只是把特征向量重新排序（并允许变号，变号不改变所属特征值）。$Q$ 的列序 $(e_1,-e_3,e_2)$ 对应特征值序 $(2,-1,1)$，标准形随之变成 $2y_1^2-y_2^2+y_3^2$。关键直觉：调列 = 调系数顺序，变号无影响。

本题考查正交变换化二次型为标准形与特征值、特征向量的对应关系。 用正交变换所得标准形的系数一定是特征值，且系数与所用特征向量（$P$ 的列）一一对应。

由 $x=Py$（$P=(e_1,e_2,e_3)$）得标准形 $2y_1^2+y_2^2-y_3^2$，知二次型矩阵 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$，对应的单位正交特征向量依次为 $e_1,e_2,e_3$。

现 $Q=(e_1,-e_3,e_2)$。注意 $-e_3$ 仍是特征值 $-1$ 的特征向量，$e_2$ 是特征值 $1$ 的特征向量，且 $Q$ 仍为正交矩阵。于是 $Q$ 的三列对应的特征值依次为 $2,-1,1$。

故在 $x=Qy$ 下标准形为 $2y_1^2+(-1)y_2^2+(1)y_3^2=2y_1^2-y_2^2+y_3^2$。故应选 A。