2015 年考研数学（二） 第 9 题

参数方程求二阶导，最容易错在「以为对 $\frac{dy}{dx}$ 再对 $t$ 求一次导就完了」。正确公式是 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{dx/dt}$，要再除以 $\frac{dx}{dt}$。本题 $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$ 很小，除以它相当于乘 $(1+t^2)$，把结果放大，得到干净的 $12t(1+t^2{)}^2$，代 $t=1$ 即 $48$。

本题考查参数方程所确定函数的二阶导数。 注意二阶导要用「先对 $t$ 求导、再除以 $\frac{dx}{dt}$」。

$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$，$\frac{dy}{dt}=3+3t^2=3(1+t^2)$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3(1+t^2)}{\frac{1}{1+t^2}}=3(1+t^2{)}^2.$$

再求二阶导：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3\cdot 2(1+t^2)\cdot 2t}{\frac{1}{1+t^2}}=\frac{12t(1+t^2)}{\frac{1}{1+t^2}}=12t(1+t^2{)}^2.$$

代入 $t=1$：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=1}=12\cdot 1\cdot (1+1{)}^2=12\cdot 4=48$。