2015 年考研数学（二） 第 10 题

求 $f^{(n)}(0)$，凡是能展成幂级数的都优先「泰勒展开比系数」，比反复求导稳。$x^2{2}^x$ 的结构提示：$2^x=e^{x\ln 2}$ 的系数是 $\frac{(\ln 2{)}^k}{k!}$，乘上 $x^2$ 只把每项幂次抬高 $2$，于是 $x^n$ 来自 $2^x$ 里的 $x^{n-2}$。再用 $f^{(n)}(0)=n!\cdot [x^n]$ 就得 $n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$。若用莱布尼茨，$x^2$ 求导超过两次即为零，同样只剩一项，殊途同归。

本题考查高阶导数的计算。 有两条路：莱布尼茨公式，或泰勒（麦克劳林）展开比较系数。这里用泰勒展开更快。

方法一（泰勒展开）：$2^x=e^{x\ln 2}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\ln 2{)}^k}{k!}{x}^k$，故
$$f(x)=x^2\cdot 2^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\ln 2{)}^k}{k!}{x}^{k+2}.$$
其中 $x^n$ 的系数（取 $k=n-2$）为 $\frac{(\ln 2{)}^{n-2}}{(n-2)!}$。由 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(\ln 2{)}^{n-2}}{(n-2)!}$ 得
$$f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}(\ln 2{)}^{n-2}=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}.$$

方法二（莱布尼茨公式）：设 $u=x^2,v=2^x$，则 $v^{(k)}=2^x(\ln 2{)}^k$。$(uv{)}^{(n)}={\sum }_k{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$，$u$ 只有 $u,u^{\prime },u^{\prime \prime }$ 非零。代 $x=0$ 时 $u(0)=0,u^{\prime }(0)=0,u^{\prime \prime }(0)=2$，只剩 $k=2$ 项：
$$f^{(n)}(0)=C_n^2\cdot u^{\prime \prime }(0)\cdot v^{(n-2)}(0)=\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot (\ln 2{)}^{n-2}=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}.$$

故 $f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2{)}^{n-2}$（当 $n\ge 2$；$n=0,1$ 时为 $0$，与公式相容）。