2015 年考研数学（二） 第 11 题

变限积分里若含「与积分变量无关的 $x$」，第一步一定是把它提到积分号外，否则求导会乱。提出后 $\phi =x{\int }_0^{x^2}f$，求导得两块：直接项 ${\int }_0^{x^2}f$ 和变上限项 $2x^{2}f(x^2)$。两个已知条件 $\phi (1),{\phi }^{\prime }(1)$ 恰好一个给出 ${\int }_0^{1}f=1$、另一个把它代入解出 $f(1)$，环环相扣。

本题考查变限积分求导。 关键：被积式里的 $x$ 是「积分号外的常数」，应先把它提到积分号外，再对 $x$ 求导（乘积法则 + 变上限求导）。

先提出 $x$：$\phi (x)=x{\int }_0^{x^2}f(t)dt$。求导：
$${\phi }^{\prime }(x)={\int }_0^{x^2}f(t)dt+x\cdot f(x^2)\cdot (x^2{)}^{\prime }={\int }_0^{x^2}f(t)dt+2x^{2}f(x^2).$$

由 $\phi (1)=1$：$1\cdot {\int }_0^{1}f(t)dt=1$，即 ${\int }_0^{1}f(t)dt=1$。

再由 ${\phi }^{\prime }(1)=5$：${\int }_0^{1}f(t)dt+2f(1)=5$，即 $1+2f(1)=5$，解得 $f(1)=2$。