2015 年考研数学（二） 第 12 题

常系数齐次线性 ODE 求特解，套路固定：特征方程求根 → 写通解 → 用条件定常数。本题的「文字机关」是「在 $x=0$ 取得极值 $3$」——要拆成两个数学条件：函数值 $y(0)=3$ 和可导极值的必要条件 $y^{\prime }(0)=0$。有了两个条件正好定两个常数 $C_1,C_2$。

本题综合考查二阶常系数齐次线性微分方程与函数极值。 先求通解，再用「$x=0$ 取极值 $3$」翻译成初始条件定常数。

特征方程 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，即 $(\lambda +2)(\lambda -1)=0$，特征根 ${\lambda }_1=-2,{\lambda }_2=1$。故通解为
$$y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^x.$$

「在 $x=0$ 处取得极值 $3$」意味着 $y(0)=3$ 且 $y^{\prime }(0)=0$。由 $y^{\prime }=-2C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^x$，得
$$\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2=3,\\ -2C_1+C_2=0,\end{array}\Rightarrow C_1=1,C_2=2.$$

故 $y(x)=e^{-2x}+2e^x$。（可验证 $y^{\prime \prime }(0)=4C_1+C_2=6>0$，$x=0$ 确为极小值点。）