2015 年考研数学（二） 第 13 题

隐函数求某点全微分，先「定点」——代入求出该点的 $z$，本题得 $z=0$，这一步能让后面大量含 $x,y,z$ 乘积的项在代入时归零，计算骤然变简单。也可以两端直接取全微分：$e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz)+d(xyz)=0$，在 $(0,0,0)$ 处 $d(xyz)=0$，得 $dx+2dy+3dz=0$，即 $dz=-\frac{1}{3}dx-\frac{2}{3}dy$，一步到位。

本题考查由方程确定的多元隐函数的全微分。 先定出点 $(0,0)$ 处的 $z$ 值，再对方程两端求偏导（或直接两端求全微分）。

把 $x=0,y=0$ 代入 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$：$e^{3z}=1$，故 $z=0$。即所讨论点为 $(x,y,z)=(0,0,0)$。

对方程两端分别关于 $x$、$y$ 求偏导：
$$e^{x+2y+3z}(1+3\frac{\partial z}{\partial x})+yz+xy\frac{\partial z}{\partial x}=0,$$
$$e^{x+2y+3z}(2+3\frac{\partial z}{\partial y})+xz+xy\frac{\partial z}{\partial y}=0.$$

把 $(0,0,0)$ 代入（此时 $e^0=1$，$yz=xz=xy=0$）：$1+3\frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{3}$；$2+3\frac{\partial z}{\partial y}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2}{3}$。

故 $dz{|}_{(0,0)}=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=-\frac{1}{3}dx-\frac{2}{3}dy$。