2015 年考研数学（二） 第 14 题

凡是「已知 $A$ 的特征值，求 $A$ 的多项式 $g(A)$ 的行列式（或迹）」，都别真去算矩阵乘方。直接用「$g(A)$ 的特征值 = $g(\text{各特征值})$」，再用「行列式 = 特征值之积、迹 = 特征值之和」。本题 $g(\lambda )={\lambda }^2-\lambda +1$，代入 $2,-2,1$ 得 $3,7,1$，相乘即 $|B|=21$。

本题考查矩阵多项式的特征值与行列式的关系。 核心结论：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则对多项式 $g$，$g(\lambda )$ 是 $g(A)$ 的特征值；而行列式等于全体特征值之积。

这里 $g(\lambda )={\lambda }^2-\lambda +1$。$A$ 的特征值 $2,-2,1$ 对应 $B=g(A)$ 的特征值：
$$g(2)=4-2+1=3,g(-2)=4+2+1=7,g(1)=1-1+1=1.$$

故 $|B|=$ 三个特征值之积 $=3\times 7\times 1=21$。