2015 年考研数学（二） 第 15 题

「$f\sim k{x}^3$ 求参数」的标准打法是泰勒展开比系数：等价于 $k{x}^3$ 就要求 $f$ 的展开里 $x^0,x^1,x^2$ 全为零、$x^3$ 系数等于 $k$。这里三个待定参数 $a,b,k$ 对应三个方程，恰好唯一确定。诀窍是展开阶数要「刚好到 $x^3$」——低了信息不全，高了做无用功；并注意 $x\sin x$ 只贡献到 $x^2$（因为 $\sin x$ 的下一项已是 $x^3$，乘 $x$ 后是 $x^4$，属高阶）。

本题考查等价无穷小与泰勒（麦克劳林）展开。 $f(x)\sim k{x}^3$ 意味着 $f(x)$ 的麦克劳林展开中 $x$ 的一次、二次项系数必须为 $0$，而三次项系数恰为 $k$。把 $f$ 展到 $x^3$ 逐项比较即可。

利用 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，故 $x\sin x=x^2+o(x^3)$。代入：
$$f(x)=x+a(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})+b{x}^2+o(x^3)=(1+a)x+(b-\frac{a}{2})x^2+\frac{a}{3}{x}^3+o(x^3).$$

由 $f(x)\sim k{x}^3(x\to 0)$，需一次项、二次项系数为零、三次项系数为 $k$：
$$1+a=0,b-\frac{a}{2}=0,\frac{a}{3}=k.$$

解得 $a=-1$，$b=\frac{a}{2}=-\frac{1}{2}$，$k=\frac{a}{3}=-\frac{1}{3}$。