2015 年考研数学（二） 第 16 题

同一区域「绕 $x$ 轴」与「绕 $y$ 轴」，若都想以 $x$ 为积分变量：绕 $x$ 轴自然是圆盘法 $\pi \int y^{2}dx$；绕 $y$ 轴则用柱壳法 $2\pi \int xydx$（半径 $x$、高 $y$），避免反解 $x=x(y)$。这里 $V_1\propto A^2$、$V_2\propto A$，令二者相等就得到关于 $A$ 的一次方程（约去 $A>0$），解出 $A=8/\pi$。记住 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2=\frac{\pi }{4}$、${\int }_0^{\pi /2}x\sin x=1$ 两个小结果即可。

本题考查定积分的几何应用——旋转体体积。 绕 $x$ 轴用圆盘法，绕 $y$ 轴用柱壳法（因为区域仍以 $x$ 为积分变量）。

绕 $x$ 轴（圆盘法）：
$$V_1=\pi {\int }_0^{\pi /2}(A\sin x{)}^{2}dx=\pi A^2{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx=\pi A^2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{4}{A}^2.$$

绕 $y$ 轴（柱壳法）：
$$V_2=2\pi {\int }_0^{\pi /2}x\cdot A\sin xdx=2\pi A{\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx.$$
其中 ${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=[-x\cos x+\sin x{]}_0^{\pi /2}=(0+1)-(0+0)=1$，故 $V_2=2\pi A$。

由 $V_1=V_2$：$\frac{{\pi }^2}{4}{A}^2=2\pi A$。因 $A>0$ 可约去 $A$：$\frac{{\pi }^2}{4}A=2\pi$，解得 $A=\frac{8}{\pi }$。