2015 年考研数学（二） 第 17 题

「已知若干偏导条件求函数」的核心是「逐次积分 + 用给定的边界条件定积分常数」：对 $y$ 积分出现的常数是 $\phi (x)$，对 $x$ 积分出现的是 $\psi (y)$，题目给的 $f_x^{\prime }(x,0)$、$f(0,y)$ 正是用来锁定这两个待定函数的。还原出 $f$ 后就是标准二元极值：解 $f_x=f_y=0$ 找驻点，再用 $AC-B^2$ 与 $A$ 的符号判类型。整道题是「积分还原」与「极值判别」两大板块的拼接。

本题考查由混合偏导条件还原二元函数，再求其极值。 先由 $f_{xy}^{\prime \prime }$ 逐步积分求出 $f(x,y)$，再按二元极值判别法求极值。

第一步：还原 $f_x^{\prime }$。 把 $f_{xy}^{\prime \prime }=\frac{\partial }{\partial y}\left(f_x^{\prime }\right)=2(y+1)e^x$ 对 $y$ 积分：
$$f_x^{\prime }(x,y)=(y+1{)}^2{e}^x+\phi (x).$$
由 $f_x^{\prime }(x,0)=(x+1)e^x$：$(0+1{)}^2{e}^x+\phi (x)=(x+1)e^x$，得 $\phi (x)=x{e}^x$。故 $f_x^{\prime }(x,y)=(y+1{)}^2{e}^x+x{e}^x$。

第二步：还原 $f$。 对 $x$ 积分（$\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x$）：
$$f(x,y)=(y+1{)}^2{e}^x+(x-1)e^x+\psi (y).$$
由 $f(0,y)=y^2+2y$：$(y+1{)}^2+(0-1)+\psi (y)=y^2+2y$，即 $y^2+2y+1-1+\psi (y)=y^2+2y$，得 $\psi (y)=0$。故
$$f(x,y)=(y+1{)}^2{e}^x+(x-1)e^x.$$

第三步：求驻点。 $\frac{\partial f}{\partial x}=(y+1{)}^2{e}^x+x{e}^x=0,\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)e^x=0.$ 由第二式 $y=-1$，代入第一式得 $x{e}^x=0\Rightarrow x=0$。驻点为 $(0,-1)$。

第四步：判别。 $A=f_{xx}^{\prime \prime }=(y+1{)}^2{e}^x+(x+1)e^x$，$B=f_{xy}^{\prime \prime }=2(y+1)e^x$，$C=f_{yy}^{\prime \prime }=2e^x$。在 $(0,-1)$ 处 $A=1,B=0,C=2$，$AC-B^2=2>0$ 且 $A>0$，故 $(0,-1)$ 为极小值点，极小值 $f(0,-1)=(0{)}^2\cdot 1+(0-1)\cdot 1=-1$。