2015 年考研数学（二） 第 6 题

两条射线（$\theta$ 定角）加两条 $xy=$常数曲线，是二重积分化极坐标的经典配置。识别信号：$2xy=r^2\sin 2\theta$，所以 $2xy=1$ 与 $4xy=1$ 分别给出 $r=\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}$、$r=\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}$——注意是「开方」，这是排除 A、C 的关键；而漏掉雅可比因子 $r$ 会错选 C、D。所以既要记得 $r$、又要正确开方，才锁定 B。

本题考查二重积分化极坐标。 区域由两条双曲线与两条过原点直线围成，天然适合极坐标。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。两条直线 $y=x,y=\sqrt{3}x$ 对应 $\theta =\frac{\pi }{4},\theta =\frac{\pi }{3}$，故 $\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$。

两条曲线：$2xy=1\Rightarrow 2r^2\cos \theta \sin \theta =r^2\sin 2\theta =1\Rightarrow r=\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}$；$4xy=1\Rightarrow 2r^2\sin 2\theta =1\Rightarrow r=\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}$。由于 $4xy=1$ 比 $2xy=1$ 更靠近原点，故 $\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}\le r\le \frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}$。

注意极坐标下面积元 $dxdy=rdrd\theta$（不能漏掉 $r$）。故
$${\iint }_{D}fdxdy={\int }_{\pi /4}^{\pi /3}d\theta {\int }_{\frac{1}{\sqrt{2\sin 2\theta }}}^{\frac{1}{\sqrt{\sin 2\theta }}}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr.$$
故应选 B。