2015 年考研数学（二） 第 5 题

「已知 $f({\text{表达式}}_1,{\text{表达式}}_2)=\dots$，求 $f$ 的偏导」——最省事的思路是把内层两个表达式设为 $u,v$，反解出 $x,y$，得到 $f(u,v)$ 的显式式，再正常求偏导。这里 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，而 $x+y=u$，$x-y=\frac{u(1-v)}{1+v}$，所以 $f=u\cdot \frac{u(1-v)}{1+v}$，结构立现。注意 $(1,1)$ 处 $1-v=0$ 使 $\partial f/\partial u=0$，这是选项设计的关键区分点。

本题考查多元函数的偏导数，关键是先把 $f(u,v)$ 的显式表达式求出来。 用换元把 $x,y$ 换成 $u,v$。

令 $\{\begin{array}{l}x+y=u,\\ \frac{y}{x}=v,\end{array}$ 解得 $x=\frac{u}{v+1},y=\frac{uv}{v+1}$。代入 $x^2-y^2$：
$$f(u,v)=\frac{u^2}{(v+1{)}^2}-\frac{u^2{v}^2}{(v+1{)}^2}=\frac{u^2(1-v^2)}{(v+1{)}^2}=\frac{u^2(1-v)}{1+v}.$$

分别求偏导：
$$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{2u(1-v)}{1+v},\frac{\partial f}{\partial v}=u^2\cdot \frac{-(1+v)-(1-v)}{(1+v{)}^2}=u^2\cdot \frac{-2}{(1+v{)}^2}.$$

代入 $u=1,v=1$：$\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{(1,1)}=\frac{2\cdot 1\cdot 0}{2}=0$，$\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{(1,1)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$。依次为 $0,-\frac{1}{2}$。故应选 D。