2015 年考研数学（二） 第 4 题

看到「给出 $f^{\prime \prime }$ 的图形、问 $f$ 的拐点个数」，不要去数 $f^{\prime \prime }$ 与 $x$ 轴的交点个数，而要数 $f^{\prime \prime }$ 的「变号点」（含 $f^{\prime \prime }$ 不存在但两侧异号的点）。本题最大的陷阱是 $x=a$：曲线与 $x$ 轴相切（$f^{\prime \prime }=0$ 但不变号），是「假拐点」；而 $x=0$ 虽然 $f^{\prime \prime }$ 不存在，只要 $f$ 连续且两侧凹凸相反，就是真拐点。抓住「变号」二字即可。

本题考查拐点的判别法。 拐点是「曲线凹凸性发生改变的点」，判据是：$f$ 连续，且在该点两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号（$f^{\prime \prime }=0$ 或 $f^{\prime \prime }$ 不存在都可能是拐点候选）。

由图，$f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点为 $x=a$（左）与 $x=b$（右），另外 $x=0$ 处 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在。逐一判断两侧符号：

在 $x=a$ 处：曲线与 $x$ 轴相切，左右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 都为正（不变号），故 $(a,f(a))$ 不是拐点。

在 $x=0$ 处：左侧 $f^{\prime \prime }>0$、右侧 $f^{\prime \prime }<0$，异号，而 $f$ 连续，故 $(0,f(0))$ 是拐点。

在 $x=b$ 处：左侧 $f^{\prime \prime }<0$、右侧 $f^{\prime \prime }>0$，异号，故 $(b,f(b))$ 是拐点。

因此曲线 $y=f(x)$ 共有 $2$ 个拐点。故应选 C。