2015 年考研数学（二） 第 3 题

分段函数在 $x=0$ 的可导性与导数连续性，核心是「幂次能不能把有界振荡因子 $\cos \frac{1}{x^{\beta }},\sin \frac{1}{x^{\beta }}$ 压成无穷小」。求导后最苛刻的一项是 $\beta x^{\alpha -\beta -1}\sin \frac{1}{x^{\beta }}$——因为求导使 $\frac{1}{x^{\beta }}$ 的导数把指数降了 $\beta +1$。要它 $\to 0$ 就得 $\alpha -\beta -1>0$。抓住「阶数最低（衰减最慢）的那一项决定收敛」这个信号即可锁定 $\alpha -\beta >1$。

本题考查分段函数在分界点的导数（用定义求）以及导函数的连续性，落脚在无穷小的阶。

先用定义求 $f^{\prime }(0)$：$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha -1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}$。当 $\alpha >1$ 时，$x^{\alpha -1}\to 0$ 而 $\cos$ 有界，故 $f^{\prime }(0)=0$（存在）。

当 $x>0$ 时求导：
$$f^{\prime }(x)=\alpha x^{\alpha -1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}+\beta x^{\alpha -\beta -1}\sin \frac{1}{x^{\beta }}.$$

要 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 连续，需 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)=0$。第一项要求 $\alpha -1>0$；第二项 $\beta x^{\alpha -\beta -1}\sin \frac{1}{x^{\beta }}$ 中 $\sin$ 不趋于 $0$，必须靠 $x^{\alpha -\beta -1}\to 0$，即 $\alpha -\beta -1>0$，也就是 $\alpha -\beta >1$。此条件同时保证 $\alpha >\beta +1>1$。故应选 A。