2015 年考研数学（二） 第 2 题

两层极限的题：外层是待求函数 $f(x)$，内层 $t\to 0$ 是 $1^{\infty }$，先把内层算出来。凑 $e$ 的套路是「底凑成 $(1+\text{无穷小}{)}^{1/\text{无穷小}}\to e$，多出来的因子进指数」，这里指数因子 $x\cdot \frac{\sin t}{t}\to x$，于是 $f(x)=e^x$。$e^x$ 处处连续，唯一麻烦是原式在 $x=0$ 分母为零、没定义；但极限存在（$=1$），这正是「可去间断点」的定义。

本题综合考查两个重要极限（$1^{\infty }$ 型）与间断点的分类。 先把 $f(x)$ 求出来，再讨论间断点类型。

当 $x\ne 0$ 时，这是 $1^{\infty }$ 型极限。写成
$${\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)}^{\frac{x^2}{t}}={\left[{\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)}^{\frac{x}{\sin t}}\right]}^{\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{x^2}{t}},$$
其中底 ${\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)}^{x/\sin t}\to e$，指数 $\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{x^2}{t}=x\cdot \frac{\sin t}{t}\to x$（$t\to 0$）。故 $f(x)=e^x(x\ne 0)$。

$f(x)$ 在 $x=0$ 处没有定义（原式含 $\frac{\sin t}{x}$），因此 $x=0$ 是唯一的间断点。

又 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^x=1$ 存在且有限，故 $x=0$ 是可去间断点。故应选 B。