2015 年考研数学（二） 第 1 题

判定 ${\int }_2^{+\infty }$ 型反常积分，最稳的是「积出来看上限极限」。这里的直觉是「谁衰减得足够快谁才收敛」：$\frac{1}{\sqrt{x}},\frac{\ln x}{x},\frac{1}{x\ln x}$ 都只是幂/对数量级，衰减太慢（对应 $p\le 1$）而发散；只有 D 含 $e^{-x}$ 指数衰减，远快于分子的一次多项式，必然收敛。看到被积函数带 $e^{-x}$ 且分子只是多项式，基本可断定收敛。

本题考查反常积分的敛散性判别。 直接把每个被积函数积出原函数、看上限 $x\to +\infty$ 时是否有限即可。

A：${\int }_2^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}{|}_2^{+\infty }=+\infty$，发散（这是 ${\int }_2^{+\infty }{x}^{-p}dx$ 型，$p=\frac{1}{2}\le 1$ 发散）。

B：${\int }_2^{+\infty }\frac{\ln x}{x}dx=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x{|}_2^{+\infty }=+\infty$，发散。

C：${\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x\ln x}dx=\ln (\ln x){|}_2^{+\infty }=+\infty$，发散。

D：${\int }_2^{+\infty }\frac{x}{e^x}dx={\int }_2^{+\infty }x{e}^{-x}dx=[-(x+1)e^{-x}{]}_2^{+\infty }=3e^{-2}$，收敛。故应选 D。