2015 年考研数学（二） 第 22 题

求未知矩阵 $X$ 的通用策略是「把方程整理成 $PXQ=E$ 或 $PX=Q$ 的干净形式，再用逆矩阵解出」。本题四项 $X-X{A}^2-AX+AX{A}^2$ 看似复杂，但按左、右因子分组能提出公因式：左边提 $(E-A)$、右边提 $(E-A^2)$，凑成 $(E-A)X(E-A^2)=E$，$X$ 就夹在两个可逆矩阵之间，两边各乘逆即可。识别信号：项能按「是否左乘 $A$」「是否右乘 $A^2$」两两配对，正是提取公因式的提示。

本题考查矩阵幂、行列式性质与用矩阵方程（提取公因式再求逆）求未知矩阵。

（Ⅰ） 由 $A^3=O$ 两边取行列式得 $|A{|}^3=0$，故 $|A|=0$。而
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& a& -1\\ 0& 1& a\end{array}\right|=a(a^2+1)-1\cdot a=a^3,$$
由 $a^3=0$ 得 $a=0$。此时 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$（可验证 $A^3=O$）。

（Ⅱ） 对方程 $X-X{A}^2-AX+AX{A}^2=E$ 分组提公因式：
$$(E-A)X-(E-A)X{A}^2=E\Rightarrow (E-A)X(E-A^2)=E.$$
因此只要 $E-A$、$E-A^2$ 可逆，就有 $X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}$。

计算所需矩阵（$a=0$）：
$$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right),E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right),E-A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right).$$

分别求逆（用初等行变换）：
$$(E-A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),(E-A^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$

故
$$X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 1& 1& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right).$$