2015 年考研数学（二） 第 23 题

相似问题分两层：定参数用「相似的必要条件」——迹与行列式相等（有时还用 $r(A)=r(B)$、$A,B$ 同特征值），两条件正好定 $a,b$。对角化则回到标准流程：求特征值（这里借 $B$ 是三角阵直接读）、对每个特征值解齐次方程组求特征向量、按列组装 $P$。关键自检点：二重根 $\lambda =1$ 必须给出 $2$ 个无关特征向量（几何重数 = 代数重数），这既保证可对角化，也和「$A\sim B$ 已知可对角化」自洽。$P$ 各列与对角元的特征值务必按同一顺序对应。

本题考查相似矩阵的必要条件（迹、行列式相等）以及矩阵对角化、求相似变换矩阵。

（Ⅰ） 相似矩阵有相同的迹与行列式：
$$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B:0+3+a=1+b+1,|A|=|B|.$$
计算 $|A|=2a-3$，$|B|=b$，得方程组 $\{\begin{array}{l}a+3=b+2,\\ 2a-3=b,\end{array}$ 解得 $a=4,b=5$。

（Ⅱ） 因 $A\sim B$，特征值相同。由 $|\lambda E-B|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -5)=0$（$b=5$）得特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1,{\lambda }_3=5$。

对 $\lambda =1$，解 $(E-A)x=0$（$a=4$）：
$$E-A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ -1& 2& -3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得两个线性无关特征向量 ${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right)$。（$\lambda =1$ 有 $2$ 个无关特征向量，故 $A$ 可对角化。）

对 $\lambda =5$，解 $(5E-A)x=0$：
$$5E-A=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& 3\\ 1& 2& 3\\ -1& 2& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$
得特征向量 ${\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$。

取 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& -1\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$，则
$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$