2015 年考研数学（二） 第 21 题

「切线与 $x$ 轴交点」先化成公式 $x_0=b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}$（牛顿切线法的一步）。证 $a<x_0<b$ 分两头：右端 $x_0<b$ 靠符号（$f,f^{\prime }$ 都正）即得；左端 $x_0>a$ 是难点，把它整理成 $(b-a)f^{\prime }(b)>f(b)$，右边 $f(b)=f(b)-f(a)$ 天然召唤拉格朗日中值定理得 $(b-a)f^{\prime }(\xi )$，再用条件 $f^{\prime \prime }>0\Rightarrow f^{\prime }\uparrow \Rightarrow f^{\prime }(\xi )<f^{\prime }(b)$ 完成放大。凡「切线截距/牛顿法 + 凹凸性」题，这套 $f^{\prime }$ 单调 + 中值定理是标准武器。

本题考查切线方程、以及用拉格朗日中值定理（结合 $f^{\prime \prime }>0$ 即 $f^{\prime }$ 单调增）证明不等式。

切线方程为 $y=f^{\prime }(b)(x-b)+f(b)$。令 $y=0$ 得切线与 $x$ 轴交点横坐标
$$x_0=b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}.$$

先证 $x_0<b$。 因 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $[a,+\infty )$ 严格增，故 $f(b)>f(a)=0$，又 $f^{\prime }(b)>0$，所以 $\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}>0$，从而 $x_0=b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}<b$。

再证 $x_0>a$，即 $b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}>a$。 两边乘以 $f^{\prime }(b)>0$，等价于 $b{f}^{\prime }(b)-f(b)>a{f}^{\prime }(b)$，即 $(b-a)f^{\prime }(b)>f(b)$。

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(b)=f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(\xi )$。又 $f^{\prime \prime }>0$ 表明 $f^{\prime }$ 单调增，且 $\xi <b$，故 $f^{\prime }(\xi )<f^{\prime }(b)$。于是
$$f(b)=(b-a)f^{\prime }(\xi )<(b-a)f^{\prime }(b),$$
即 $(b-a)f^{\prime }(b)>f(b)$，得 $x_0>a$。

综上，$a<x_0<b$，证毕。