2015 年考研数学（二） 第 20 题

牛顿冷却是「变化率 $\propto$ 差值」的典型一阶方程，通解一定是「指数衰减 + 平衡值」$T=C{e}^{-kt}+T_{\text{环境}}$。两个数据点定两个常数 $C,k$：$120\to 100$ 定 $C$，$30\min$ 降到 $30^{\circ }$ 定 $k$（此处 $e^{-30k}=\frac{1}{10}$ 很干净）。最后一步的「陷阱」在问法：算出的 $t=60$ 是从头计时的总时间，而题目问「还需多久」，要减去已冷却的 $30\min$，答案是 $30\min$。

本题考查一阶微分方程的建立与求解（牛顿冷却定律）。 设 $t$ 时刻物体温度为 $T(t)$，由题意「温度变化率与温差成正比、且在降温」得
$$\frac{dT}{dt}=-k[T(t)-20](k>0).$$

这是可分离变量（也是一阶线性）方程。分离变量 $\frac{dT}{T-20}=-kdt$，积分得 $\ln |T-20|=-kt+C_0$，故通解
$$T(t)=C{e}^{-kt}+20.$$

由初始条件 $T(0)=120$：$C+20=120\Rightarrow C=100$。由 $T(30)=30$：$100e^{-30k}+20=30\Rightarrow e^{-30k}=\frac{1}{10}\Rightarrow k=\frac{\ln 10}{30}$。故
$$T(t)=100e^{-\frac{\ln 10}{30}t}+20.$$

求 $T=21$ 的时刻：$100e^{-\frac{\ln 10}{30}t}+20=21\Rightarrow e^{-\frac{\ln 10}{30}t}=\frac{1}{100}\Rightarrow \frac{\ln 10}{30}t=\ln 100=2\ln 10\Rightarrow t=60(\text{min})$。

即从开始冷却算起共需 $60\text{min}$ 才降到 $21{}^{\circ }C$。已经过去 $30\text{min}$，故还需冷却 $60-30=30\text{min}$。