2015 年考研数学（二） 第 19 题

「函数由变限积分给出、求零点个数」的三步法：① 求导 $f^{\prime }$ 判单调（变限积分求导要小心上下限与链式因子的符号）；② 定出极值点并判断极值的正负号；③ 考察端点或 $\pm \infty$ 处的趋势，画出「升降草图」数交点。本题 $f^{\prime }=(2x-1)\sqrt{1+x^2}$ 只有一个极小点，极小值为负、两端趋于 $+\infty$，所以一个「山谷」两侧各穿轴一次，恰 $2$ 个零点；并且 $f(1)=0$ 让右侧零点有了显式值。

本题考查变限积分求导与用单调性讨论函数零点个数。 思路：求 $f^{\prime }$ 判单调，找极值点，再结合端点/无穷远处的极限数零点。$f(x)$ 定义域为 $(-\infty ,+\infty )$。

求导（第一项对下限 $x$ 求导得负号；第二项对上限 $x^2$ 求导乘 $2x$）：
$$f^{\prime }(x)=-\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+x^2}\cdot 2x=(2x-1)\sqrt{1+x^2}.$$
因 $\sqrt{1+x^2}>0$，故 $f^{\prime }(x)=0$ 仅有 $x=\frac{1}{2}$。当 $x<\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }<0$（递减），$x>\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }>0$（递增），故 $x=\frac{1}{2}$ 是唯一的极小值点。

极小值 $f\left(\frac{1}{2}\right)={\int }_{1/2}^1\sqrt{1+t^2}dt-{\int }_{1/4}^1\sqrt{1+t}dt$。两段区间长度分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $\frac{3}{4}$，且在相应区间上 $\sqrt{1+t}\ge \sqrt{1+t^2}$（当 $0\le t\le 1$），故第二个积分更大，$f\left(\frac{1}{2}\right)<0$。

再看两端：当 $x\to -\infty$，${\int }_x^1\sqrt{1+t^2}dt\to +\infty$（且 ${\int }_1^{x^2}\sqrt{1+t}dt\to +\infty$），故 $f(x)\to +\infty$；当 $x\to +\infty$ 同理 $f(x)\to +\infty$。

于是 $f$ 在 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$ 上从 $+\infty$ 递减到 $f(\frac{1}{2})<0$，恰穿过 $x$ 轴一次；在 $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上从 $f(\frac{1}{2})<0$ 递增到 $+\infty$，又穿过一次。注意到 $f(1)={\int }_1^1\sqrt{1+t^2}dt+{\int }_1^1\sqrt{1+t}dt=0$，即右侧那个零点恰为 $x=1$。故 $f(x)$ 共有 $2$ 个零点（一个在 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$ 内，另一个是 $x=1$）。