2014 年考研数学（二） 第 7 题

稀疏行列式优先“挑零最多的行/列展开”。第一行仅 $a,b$ 非零，展开成两个三阶行列式；这两个三阶行列式又各只有一行含单个非零元，再展一次就化为二阶。全程盯着提取公因子 $(ad-bc)$，最后符号收成 $-(ad-bc{)}^2$。此题也可用分块或错位对称结构观察，但直接展开最不易错。

本题考查行列式的计算（按行/列展开）。 沿第一行展开，只有第 $2$、$3$ 列元素非零。

$$\left|\begin{array}{cccc}0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d\end{array}\right|=-a\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& d& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|.$$

两个三阶行列式沿中间行展开：$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& d& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|=d(ad-bc)$，$\left|\begin{array}{ccc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ c& 0& d\end{array}\right|=c(ad-bc)$。

代入得
$$-a\cdot d(ad-bc)+b\cdot c(ad-bc)=(ad-bc)(-ad+bc)=-(ad-bc{)}^2.$$
故应选 B。