2014 年考研数学（二） 第 8 题

判断“充分/必要”，两个方向各证一次或各找一个反例。正方向用矩阵表示 $({\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)M$，$M$ 的两列 $(1,0,k{)}^T,(0,1,l{)}^T$ 天然不成比例、秩恒为 $2$，故三向量无关必推出两向量无关（必要）。反方向的经典反例是让 ${\mathbf{\alpha }}_3=0$：新组只剩 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 照样无关，但原三向量因含零向量而相关，说明不充分。

本题考查线性相关性与“必要/充分条件”的判断。 记命题 $P$：对任意 $k,l$，${\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关；命题 $Q$：${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。

$Q\Rightarrow P$（即 $P$ 是 $Q$ 的必要条件）： 若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 无关，则
$$({\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ k& l\end{array}\right).$$
由于 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 列满秩，所得两向量的秩等于右边系数矩阵的秩；而该矩阵两列不成比例，秩为 $2$，故这两个向量对任意 $k,l$ 都线性无关。

$P\nRightarrow Q$（即 $P$ 不是充分条件）： 反例——取 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，${\mathbf{\alpha }}_3=0$。此时 ${\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2+l{\mathbf{\alpha }}_3={\mathbf{\alpha }}_2$ 对任意 $k,l$ 都无关（$P$ 成立），但 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 含零向量必线性相关（$Q$ 不成立）。

故 $P$ 是 $Q$ 的必要非充分条件，应选 A。