2014 年考研数学（二） 第 9 题

分母是不可约二次式的积分，第一反应就是配方成 $(x+h{)}^2+a^2$ 再套 $\arctan$。本题唯一要小心的是反常下限：$x\to -\infty$ 时 $\arctan$ 趋于 $-\frac{\pi }{2}$ 而不是 $0$，把 $\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{2})$ 乘上系数 $\frac{1}{2}$ 得 $\frac{3\pi }{8}$。

本题考查反常积分的计算。 分母配方为 $(x+1{)}^2+2^2$，凑成 $\arctan$ 型积分。

$${\int }_{-\infty }^1\frac{dx}{x^2+2x+5}={\int }_{-\infty }^1\frac{d(x+1)}{(x+1{)}^2+2^2}=\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}{|}_{-\infty }^1.$$

上限 $x=1$：$\frac{1}{2}\arctan 1=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}$；下限 $x\to -\infty$：$\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}\to \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\pi }{2}\right)$。相减得
$$\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi }{4}=\frac{3\pi }{8}.$$