2014 年考研数学（二） 第 10 题

“可导奇函数 + 周期 + 给定一段的导数”，套路是：积分还原这一段的表达式，用 $f(0)=0$（奇函数的硬约束）定常数；求远处的值就靠周期性平移回已知区间，再用奇偶对称翻折。$f(7)\stackrel{\text{周期}4}{\to }f(-1)\stackrel{\text{奇}}{\to }-f(1)$，代入 $f(1)=-1$ 得 $1$。

本题考查函数奇偶性、周期性与由导数还原原函数。 先在 $[0,2]$ 上求出 $f(x)$，再用奇函数与周期把 $f(7)$ 归结到该区间。

由 $f^{\prime }(x)=2(x-1)$ 积分得 $f(x)=x^2-2x+C(x\in [0,2])$。因 $f$ 为奇函数，$f(0)=0$，故 $C=0$，即 $f(x)=x^2-2x,x\in [0,2]$。

利用周期 $4$：$f(7)=f(7-8)=f(-1)$。再由奇函数 $f(-1)=-f(1)$。而 $f(1)=1^2-2\cdot 1=-1$，所以 $f(7)=-f(1)=1$。