2014 年考研数学（二） 第 11 题

求隐函数在某点的全微分，最省事的是“整体求微分法”：对方程两边一次性取 $d(\cdot )$，得到含 $dx,dy,dz$ 的线性关系，再代入该点数值解出 $dz$。本题先要补一步——代入坐标解出 $z=0$，因为指数项 $e^{2yz}$ 在 $z=0$ 处化简为 $1$，微分关系立刻变得干净，得 $2dz=-dx-dy$。

本题考查由方程确定的隐函数（多元）的全微分。 先定出点处的 $z$ 值，再对方程两边求微分。

当 $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$ 时，方程为 $e^z+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+z=\frac{7}{4}$，即 $e^z+z=1$，解得 $z=0$。

对方程两边求全微分：$e^{2yz}(2zdy+2ydz)+dx+2ydy+dz=0$。把 $x=y=\frac{1}{2},z=0$（此时 $e^{2yz}=1$）代入：
$$1\cdot (0+2\cdot \frac{1}{2}dz)+dx+2\cdot \frac{1}{2}dy+dz=0\Rightarrow dz+dx+dy+dz=0,$$
即 $2dz=-dx-dy$。

所以 $dz{|}_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=-\frac{1}{2}dx-\frac{1}{2}dy$。