2014 年考研数学（二） 第 12 题

极坐标切线不必背专门公式，转成参数方程 $x=\theta \cos \theta ,y=\theta \sin \theta$ 后就是标准参数曲线求切线：切点靠代入求，斜率用 $\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$。$\theta =\frac{\pi }{2}$ 处切点落在 $y$ 轴上 $(0,\frac{\pi }{2})$，斜率分母 $\cos \theta -\theta \sin \theta$ 恰为 $-\frac{\pi }{2}$，得 $k=-\frac{2}{\pi }$。

本题考查极坐标曲线化为参数方程后求切线。 由 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 及 $r=\theta$ 得参数方程
$$x=\theta \cos \theta ,y=\theta \sin \theta .$$

当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，切点为 $M_0\left(\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}\right)=\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

求斜率：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }=\frac{\sin \theta +\theta \cos \theta }{\cos \theta -\theta \sin \theta }$。代入 $\theta =\frac{\pi }{2}$：分子 $=1+\frac{\pi }{2}\cdot 0=1$，分母 $=0-\frac{\pi }{2}\cdot 1=-\frac{\pi }{2}$，故斜率 $k=-\frac{2}{\pi }$。

切线方程 $y-\frac{\pi }{2}=-\frac{2}{\pi }(x-0)$，即 $y=-\frac{2}{\pi }x+\frac{\pi }{2}$。