2014 年考研数学（二） 第 13 题

变密度细棒求质心就是套“力矩除以质量”这一公式，两个定积分分别是分子 $\int x\rho$、分母 $\int \rho$。把 $\rho$ 乘进去逐项积分即可，别把分子分母算反。最后 $\frac{11/12}{5/3}=\frac{11}{20}$。

本题考查定积分的物理应用——质心（形心）。 一维变密度细棒的质心公式为
$$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{1}x\rho (x)dx}{{\int }_0^1\rho (x)dx}.$$

分母（总质量）：${\int }_0^1(-x^2+2x+1)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+x\right]}_0^1=-\frac{1}{3}+1+1=\frac{5}{3}$。

分子（对原点的力矩）：${\int }_0^{1}x(-x^2+2x+1)dx={\int }_0^1(-x^3+2x^2+x)dx={\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=-\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{11}{12}$。

所以 $\bar{x}=\frac{11/12}{5/3}=\frac{11}{12}\cdot \frac{3}{5}=\frac{11}{20}$。