2014 年考研数学（二） 第 14 题

惯性指数问题优先转化为特征值符号，而特征值之积就是行列式，符号一目了然。$|A|=a^2-4<0$ 时积为负，三个实数里必是“奇数个负”，结合规模只能一负两正，正中要求。难点在端点：$|A|=0$ 时得单独求特征值验证——$a=\pm 2$ 都给出 $\{-3,0,3\}$，负的仍只有一个，所以端点要闭。这提醒我们凡涉及“恰好几个正/负”的取值范围，边界处务必回代核验，最终区间 $[-2,2]$ 两端都取到。

本题考查二次型的惯性指数与其矩阵特征值的符号。 二次型对应的实对称矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& -1& 2\\ a& 2& 0\end{array}\right),|A|=a^2-4.$$

负惯性指数为 $1$ 意味着 $A$ 恰有 $1$ 个负特征值。三个实特征值之积等于 $|A|=a^2-4$。

当 $|A|<0$ 即 $-2<a<2$ 时： 三个特征值之积为负，只能是“$1$ 负 $2$ 正”，负惯性指数恰为 $1$，符合。

当 $|A|=0$ 即 $a=\pm 2$ 时： 有一个零特征值。经计算：$a=-2$ 时特征值为 $-3,0,3$；$a=2$ 时特征值为 $0,3,-3$。两种情形都恰有 $1$ 个负特征值，负惯性指数仍为 $1$，符合。

当 $|A|>0$ 即 $|a|>2$ 时： 三特征值之积为正，为“$2$ 负 $1$ 正”（经验证），负惯性指数为 $2$，不符。综上 $a\in [-2,2]$。