2014 年考研数学（二） 第 15 题

变限积分放在 $\frac{\infty }{\infty }$ 分式里，几乎必用洛必达——它把“积分”一步还原成“被积函数”，回避了先积出来。这里先做一步减负：把分母的 $\ln (1+\frac{1}{x})$ 等价成 $\frac{1}{x}$，让分母干净地变成 $x$。洛必达后剩下 $x^2(e^{1/x}-1-\frac{1}{x})$，用换元 $t=\frac{1}{x}$ 落到经典极限 $\frac{e^t-1-t}{t^2}\to \frac{1}{2}$（$e^t$ 的二阶泰勒余项）。

本题考查含变限积分的 $\frac{\infty }{\infty }$ 型极限（洛必达 + 等价无穷小/泰勒）。 先把分母的对数因子分离出来化简。

当 $x\to +\infty$ 时 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\sim \frac{1}{x}$，故 $x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\sim x$。于是
$$\text{原式}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x\left[t^2(e^{1/t}-1)-t\right]dt}{x}\cdot \underset{\to 1}{\underbrace{\frac{1/x}{\ln (1+1/x)}}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_1^x\left[t^2(e^{1/t}-1)-t\right]dt}{x}.$$

被积函数当 $t\to +\infty$ 时不趋于 $0$（趋于 $\frac{1}{2}$），故分子随 $x\to +\infty$ 趋于 $+\infty$，是 $\frac{\infty }{\infty }$ 型。用洛必达法则，对分子按变限积分求导、分母求导得 $1$：
$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x^2\left(e^{1/x}-1\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left(e^{1/x}-1-\frac{1}{x}\right).$$

令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$，则
$$=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{e^t-1-t}{t^2}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{t}^2+o(t^2)}{t^2}=\frac{1}{2}.$$
故所求极限为 $\frac{1}{2}$。