2014 年考研数学（二） 第 16 题

先别急着解极值，把方程看清楚：$y^{\prime }$ 被 $y^2{y}^{\prime }$ 和 $-y^{\prime }$ 夹着，合并同类项 $(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2$ 立刻暴露“可分离变量”结构。分母 $1+y^2$ 恒正是本题的关键——它让 $y^{\prime }$ 的正负完全由分子 $1-x^2$ 决定，极值点必在 $x=\pm 1$，符号判别也一步到位。求极值不必解出显式 $y(x)$，把 $x=\pm 1$ 代进隐式解直接得 $y$。

本题考查可分离变量的一阶微分方程与函数极值判别。 先把方程整理成可分离形式并求隐式通解，再用一阶导数符号判定极值。

由 $x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$ 得 $(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2$，即
$$y^{\prime }=\frac{1-x^2}{1+y^2}.$$
分离变量 $(1+y^2)dy=(1-x^2)dx$，积分得 $y+\frac{y^3}{3}=x-\frac{x^3}{3}+C$。

代入初值 $y(2)=0$：$0=2-\frac{8}{3}+C$，得 $C=\frac{2}{3}$。故满足条件的特解为
$$y+\frac{y^3}{3}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}.$$

求驻点：因 $1+y^2>0$，$y^{\prime }=0⟺1-x^2=0⟺x=\pm 1$。且 $y^{\prime }$ 的符号与 $1-x^2$ 相同：$x<-1$ 时 $y^{\prime }<0$，$-1<x<1$ 时 $y^{\prime }>0$，$x>1$ 时 $y^{\prime }<0$。

故 $x=-1$ 处 $y^{\prime }$ 由负变正，为极小值点；$x=1$ 处 $y^{\prime }$ 由正变负，为极大值点。把 $x=1$ 代入特解：$y+\frac{y^3}{3}=1-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，解得 $y=1$；把 $x=-1$ 代入：$y+\frac{y^3}{3}=-1+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=0$，解得 $y=0$。

所以 $y(x)$ 的极大值为 $y(1)=1$，极小值为 $y(-1)=0$。