2014 年考研数学（二） 第 17 题

被积函数里带着讨厌的分母 $x+y$，直接极坐标会很难算。看到区域关于 $y=x$ 对称、分子恰是 $x$（互换后变 $y$），就该想到轮换对称技巧：$I$ 加上“$x$ 换 $y$”的版本，分子拼成 $x+y$ 与分母一约，麻烦项瞬间消失，只剩 $\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})$。剩下就是圆环上的极坐标积分，径向分部积分即可。对称化是处理这类“分母含 $x+y$、区域对称”二重积分的招牌手法。

本题考查二重积分的对称性与极坐标计算。 区域 $D$ 是第一象限内的四分之一圆环，关于直线 $y=x$ 对称。

记 $I={\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy$。将积分变量 $x\leftrightarrow y$ 互换，因 $D$ 关于 $y=x$ 对称，得 $I={\iint }_D\frac{y\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy$。两式相加：
$$2I={\iint }_D\frac{(x+y)\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy={\iint }_D\sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)dxdy.$$

对右端用极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，$D:1\le r\le 2,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$：
$$2I={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_1^2\sin (\pi r)\cdot rdr=\frac{\pi }{2}{\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr.$$

分部积分：${\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr={\left[-\frac{r}{\pi }\cos (\pi r)\right]}_1^2+\frac{1}{\pi }{\int }_1^2\cos (\pi r)dr=-\frac{1}{\pi }[r\cos \pi r{]}_1^2+\frac{1}{{\pi }^2}[\sin \pi r{]}_1^2.$
其中 $[r\cos \pi r{]}_1^2=2\cos 2\pi -\cos \pi =2-(-1)=3$，$[\sin \pi r{]}_1^2=0$，故 ${\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr=-\frac{3}{\pi }$。

于是 $2I=\frac{\pi }{2}\cdot \left(-\frac{3}{\pi }\right)=-\frac{3}{2}$，即 $I=-\frac{3}{4}$。