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2014 年考研数学（二）第 6 题

选择题 · 4 分

设函数

u (x, y)

在有界闭区域

D

上连续，在

D

的内部具有

2

阶连续偏导数，且满足

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} \neq = 0

及

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0

，则（　　）

A $u (x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得.
B $u (x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得.
C $u (x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得.
D $u (x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得.

提示 1

记

A = u_{xx}, B = u_{x y}, C = u_{y y}

，用二元极值判别式

A C - B^{2}

。

提示 2

由

u_{xx} + u_{y y} = 0

得

A = - C

，代入得

A C - B^{2} = - A^{2} - B^{2}

。

提示 3

因为

u_{x y} \neq = 0

，所以

A C - B^{2} < 0

，内部无极值点；连续函数在有界闭域上最值存在，只能落在边界。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

条件

u_{xx} + u_{y y} = 0

（调和）加上

u_{x y} \neq = 0

，一眼就该往极值判别式

A C - B^{2}

上靠：

A = - C

使

A C = - A^{2} \leq 0

，再减去

B^{2} > 0

，判别式必负，故内部全是鞍点、没有极值。既然函数连续、区域有界闭，最值一定存在，那就只能被“挤”到边界上——这正是调和函数“最值在边界”的极值原理的微缩版。

解答

本题考查二元函数取极值的充分条件（ $A C - B^{2}$ 判别法）。 记

A = u_{xx}, B = u_{x y}, C = u_{y y}

。

在

D

内部的任一驻点处，

B = u_{x y} \neq = 0

；又由

u_{xx} + u_{y y} = 0

得

A = - C

，于是判别式

A C - B^{2} = A (- A) - B^{2} = - A^{2} - B^{2} < 0.

A C - B^{2} < 0

说明驻点均为非极值点（鞍点），即

u

在

D

内部没有极值点，从而不可能在内部取到最大值或最小值。由于

u

在有界闭区域上连续，最值必存在，故最大值与最小值只能在边界

\partial D

上取得。应选 A。

考点：多元函数的无条件极值、偏导数

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