2014 年考研数学（二） 第 5 题

题面 $f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )$ 是拉氏中值定理的“伪装”，第一步就把 $f^{\prime }(\xi )$ 显式写出并解出 ${\xi }^2$ 关于 $x$ 的表达式。随后是标准的等价无穷小/泰勒极限：分母 $\arctan x$ 换成 $x$，分子 $x-\arctan x$ 用 $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\cdots$ 得到 $\frac{x^3}{3}$，比值 $\frac{1}{3}$。这类“中值点比值极限”几乎都靠泰勒展开定阶。

本题考查（拉格朗日中值定理导出的）$\xi$ 的渐近性质与极限计算。 $f(x)=x{f}^{\prime }(\xi )$ 正是 $\arctan x$ 在 $[0,x]$ 上的拉格朗日中值形式，$\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间。

由 $f^{\prime }(\xi )=\frac{1}{1+{\xi }^2}$ 及 $f(x)=\arctan x=x\cdot \frac{1}{1+{\xi }^2}$，解出 $1+{\xi }^2=\frac{x}{\arctan x}$，即 ${\xi }^2=\frac{x}{\arctan x}-1=\frac{x-\arctan x}{\arctan x}$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\xi }^2}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^2\arctan x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^3},$$
其中用了 $\arctan x\sim x$。再由 $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ 得 $x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3}$，故极限 $=\frac{1}{3}$。应选 D。