2014 年考研数学（二） 第 4 题

参数曲线求曲率半径就是“两次链式求导 + 套公式”。第一次 $y^{\prime }=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$；第二次要记牢：对 $y^{\prime }$ 关于 $t$ 求导后还要再除以 $\dot{x}$，别忘了这个分母。算出 $y^{\prime }=3,y^{\prime \prime }=-1$ 后代入 $R=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{\prime \prime }|}$，$(1+9{)}^{3/2}=10\sqrt{10}$。

本题考查参数方程求导与曲率半径公式。 曲率半径 $R=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{\prime \prime }|}$，其中 $y^{\prime },y^{\prime \prime }$ 为 $y$ 对 $x$ 的一、二阶导数。

先求一阶导：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t+4}{2t}=1+\frac{2}{t}$，在 $t=1$ 处 $y^{\prime }=3$。

再求二阶导：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(1+\frac{2}{t}\right)}{dx/dt}=\frac{-\frac{2}{t^2}}{2t}=-\frac{1}{t^3}$，在 $t=1$ 处 $y^{\prime \prime }=-1$。

代入公式：$R=\frac{(1+3^2{)}^{3/2}}{|-1|}=10^{3/2}=10\sqrt{10}$。故应选 C。