2014 年考研数学（二） 第 3 题

看到“函数与一次式（弦）比较大小”，条件反射是构造差函数 $\phi =f-g$ 并考察它的凹凸：因为 $g$ 是直线，${\phi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }$，端点差为 $0$。凹凸性决定一切——$f^{\prime \prime }\ge 0$ 时 $\phi$ 下凸、两端为零，故整段 $\le 0$，即曲线落在弦下方，选 D。一阶条件 $f^{\prime }\ge 0$ 只管单调、管不了上下方，直接排除。

本题考查用凹凸性比较函数与弦的大小。 注意 $g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$ 恰是连接点 $A(0,f(0))$ 与 $B(1,f(1))$ 的直线（弦）。

令 $\phi (x)=f(x)-g(x)$，则 ${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$（因 $g$ 是一次函数，$g^{\prime \prime }\equiv 0$），且端点 $\phi (0)=f(0)-g(0)=0$，$\phi (1)=f(1)-g(1)=0$。

当 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 时 ${\phi }^{\prime \prime }(x)\ge 0$，$\phi (x)$ 为凹函数（下凸）。凹函数在端点取相同值 $0$ 时，内部满足 $\phi (x)\le 0$，即 $f(x)\le g(x)$，也就是曲线在弦的下方。故应选 D。

注：$f^{\prime }(x)\ge 0$ 只保证单调性，不能决定曲线在弦上方还是下方，故 A、B 均不成立。