2014 年考研数学（二） 第 2 题

判断斜渐近线就抓两步：先看 $\frac{y}{x}$ 的极限定斜率 $k$，再看 $y-kx$ 的极限定截距 $b$，两个极限都存在才有渐近线。带 $x^2$ 的项让 $\frac{y}{x}\to \infty$，一票否决 B、D；剩下 A、C 差别全在余项：$\sin x$ 在无穷处振荡不收敛（A 没有），而 $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x\to \infty$ 时自变量趋于 $0$ 故趋于 $0$（C 有渐近线 $y=x$）。

本题考查曲线的（斜）渐近线。 斜渐近线 $y=kx+b$ 要求 $k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}$ 与 $b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-kx)$ 都存在。

对 C：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin \frac{1}{x}}{x}=1=k$，且 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x+\sin \frac{1}{x}-x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x}=0=b$，故 $y=x$ 是其斜渐近线。

对 A：$k=1$，但 $\underset{x\to \infty }{\lim }(x+\sin x-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\sin x$ 不存在，无渐近线。对 B、D：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+\cdots }{x}=\infty$，$k$ 不存在，也无斜渐近线（且无水平、铅直渐近线）。

故只有 C 有渐近线，应选 C。